Connaître les formules ne suffit pas : en contrôle, la difficulté est de savoir laquelle appliquer, puis de mener le calcul jusqu'à une forme utile. La fiche PDF rassemble toutes les dérivées du lycée. Cette page t'explique comment les utiliser : reconnaître la forme d'une fonction, poser le calcul sans te perdre, et te servir de la dérivée pour étudier les variations. Trois dérivées complètes te montrent la méthode appliquée.
Dans cette page, f′ se lit « f prime » et e^(u) veut dire « exponentielle de u ».
Ce qu'on attend de toi dans une copie
Une dérivée juste ne rapporte pas tous les points si on ne peut pas suivre ton calcul. Ce qui rend une copie lisible :
- Dire sur quel intervalle tu dérives. Une fonction qui contient ln u, √u ou un quotient n'est pas dérivable partout : précise l'intervalle (là où u > 0, ou là où le dénominateur ne s'annule pas).
- Nommer les morceaux. Écris u(x) = …, puis u′(x) = …, et pareil pour v. Le correcteur voit tout de suite quelle formule tu utilises, et toi, tu évites de mélanger les termes.
- Écrire la formule avant de remplacer. « f′ = u′v + uv′ » en une ligne, puis le calcul. Une étape de plus, beaucoup moins d'erreurs.
- Aller jusqu'à une forme exploitable. Si la question suivante demande les variations, une dérivée laissée en vrac ne sert à rien : factorise-la pour pouvoir lire son signe.
La méthode, étape par étape
1. Reconnaître la forme de la fonction
Avant tout calcul, regarde la dernière opération qu'on ferait pour calculer f(x) avec une valeur de x. C'est elle qui décide de la formule.
- f(x) = (3x − 1) ln x : on calcule 3x − 1, puis ln x, puis on multiplie. C'est un produit u × v.
- g(x) = eˣ / (x + 2) : on finit par diviser. C'est un quotient u / v.
- h(x) = √(4 − x²) : on calcule 4 − x², puis on prend la racine de ce résultat. C'est une fonction composée, de la forme √u.
Si tu hésites, demande-toi ce qui est « à l'intérieur » de quoi. Ce qui est sous une racine, dans un ln, en exposant d'une exponentielle ou entre parenthèses à une puissance, c'est u.
2. Nommer u et v, et les dériver à part
Écris chaque morceau sur sa ligne, avec sa dérivée. Pour f(x) = (3x − 1) ln x sur ]0 ; +∞[ :
- u(x) = 3x − 1, donc u′(x) = 3 ;
- v(x) = ln x, donc v′(x) = 1/x.
Ces petits calculs faits à part, la formule n'a plus qu'à être remplie. C'est aussi là que tu repères une composée cachée dans un produit : dans x e^(−x), v(x) = e^(−x) se dérive en −e^(−x).
3. Appliquer la formule, puis simplifier
On remplace dans la formule, sans rien sauter : f′(x) = 3 ln x + (3x − 1) × 1/x = 3 ln x + 3 − 1/x.
Simplifier ne veut pas dire tout développer. Garde les facteurs communs : avec une exponentielle, mets-la en facteur ; avec un quotient, garde le dénominateur au carré tel quel, il est toujours positif.
4. Lire le signe de la dérivée
La dérivée sert presque toujours à étudier les variations : f′ positive, f croissante ; f′ négative, f décroissante. Pour lire son signe, il faut une forme factorisée, où chaque facteur a un signe facile à trouver :
- une exponentielle est toujours strictement positive ;
- un carré, comme (x − 1)², est positif ;
- un facteur du premier degré, comme 2x − 4, change de signe en une seule valeur.
Le signe d'une somme, lui, ne se lit pas. C'est pour ça qu'on factorise.
Trois dérivées corrigées pas à pas
Un produit : f(x) = (x² − 2x) eˣ sur ℝ
Forme. On calcule x² − 2x et eˣ, puis on multiplie : c'est un produit u × v.
Morceaux. u(x) = x² − 2x, donc u′(x) = 2x − 2. v(x) = eˣ, donc v′(x) = eˣ.
Calcul. f′(x) = u′v + uv′ = (2x − 2) eˣ + (x² − 2x) eˣ. On met eˣ en facteur : f′(x) = (2x − 2 + x² − 2x) eˣ = (x² − 2) eˣ.
Signe. eˣ > 0, donc f′(x) a le signe de x² − 2, qui s'annule en −√2 et en √2. f est croissante sur ]−∞ ; −√2], décroissante sur [−√2 ; √2], croissante sur [√2 ; +∞[.
Ce qu'il faut retenir. Avec une exponentielle dans un produit, on la met en facteur avant toute chose : il ne reste qu'un polynôme à étudier.
Un quotient : g(x) = (x² + 3) / (x − 1) sur ]1 ; +∞[
Forme. On finit par diviser : c'est un quotient u / v, et v ne s'annule pas sur ]1 ; +∞[.
Morceaux. u(x) = x² + 3, donc u′(x) = 2x. v(x) = x − 1, donc v′(x) = 1.
Calcul. g′(x) = (u′v − uv′) / v² = [2x(x − 1) − (x² + 3)] / (x − 1)² = (x² − 2x − 3) / (x − 1)².
Le numérateur se factorise : x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Donc g′(x) = (x − 3)(x + 1) / (x − 1)².
Signe. Sur ]1 ; +∞[, (x − 1)² > 0 et x + 1 > 0 : g′(x) a le signe de x − 3. g est décroissante sur ]1 ; 3] et croissante sur [3 ; +∞[. Son minimum vaut g(3) = 12 / 2 = 6.
Ce qu'il faut retenir. On ne développe jamais le dénominateur : (x − 1)² est positif, on le garde tel quel et on ne travaille que sur le numérateur.
Une fonction composée : h(x) = ln(x² − 4x + 5) sur ℝ
Forme. On calcule x² − 4x + 5, puis on en prend le logarithme : c'est ln u. Il faut u > 0 : ici, x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, toujours supérieur ou égal à 1. h est donc définie et dérivable sur ℝ.
Morceaux. u(x) = x² − 4x + 5, donc u′(x) = 2x − 4.
Calcul. h′(x) = u′ / u = (2x − 4) / (x² − 4x + 5).
Signe. Le dénominateur est strictement positif, donc h′(x) a le signe de 2x − 4 : négatif avant 2, positif après. h est décroissante sur ]−∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[. Son minimum vaut h(2) = ln 1 = 0.
Ce qu'il faut retenir. La dérivée de ln u n'est pas 1/u mais u′/u : c'est le u′ qui porte toute l'information sur les variations.
Les erreurs les plus fréquentes
- Dériver un produit facteur par facteur. (uv)′ n'est pas u′v′. Avec x eˣ, ça donnerait eˣ au lieu de (1 + x) eˣ.
- Inverser le numérateur du quotient. C'est u′v − uv′, dans cet ordre. Dans l'autre sens, tu obtiens l'opposé de la dérivée, et toutes les variations sont fausses.
- Oublier le u′ d'une composée. (e^(3x))′ = 3 e^(3x), pas e^(3x). Même chose pour ln u, √u et uⁿ : chaque formule « avec u dedans » se termine par un facteur u′.
- Écrire (ln u)′ = 1/u. La bonne formule est u′/u. Tu ne retrouves 1/x que pour ln x, parce que u′ vaut 1.
- Développer pour rien. Un dénominateur développé ou une exponentielle redistribuée dans chaque terme empêchent de lire le signe. Factorise au lieu de développer.
- Oublier l'ensemble de dérivation. √x n'est pas dérivable en 0, ln u n'existe que si u > 0, un quotient n'a pas de sens là où v s'annule. Le dire évite des conclusions fausses.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre f′(a) et f′(x) ?
f′(a) est un nombre : la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. f′(x) est une fonction, qui donne cette pente pour chaque valeur de x. On calcule f′(x) une fois, puis on remplace x par a pour obtenir f′(a).
Comment trouver l'équation d'une tangente ?
La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Calcule f(a) et f′(a), remplace, puis développe pour obtenir la forme y = mx + p.
Comment retenir la formule du quotient ?
Elle ressemble à celle du produit avec un signe moins au numérateur et v² en dessous : (u′v − uv′) / v². Pour ne pas inverser l'ordre, retiens que le numérateur commence comme le produit, par u′v.
Que faire quand une fonction est à la fois un produit et une composée ?
On applique les formules l'une dans l'autre. Pour f(x) = x e^(−x) : c'est un produit, avec u(x) = x et v(x) = e^(−x). La dérivée de v est celle d'une composée, v′(x) = −e^(−x). Donc f′(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x).
Pourquoi faut-il factoriser la dérivée ?
Parce qu'on cherche son signe, et que le signe d'un produit se lit facteur par facteur. Une somme comme x² eˣ − 2 eˣ ne dit rien ; écrite (x² − 2) eˣ, elle a le signe de x² − 2, puisque eˣ est toujours positive.
