Conocer las fórmulas no basta: en un examen, la dificultad está en saber cuál aplicar y en llevar el cálculo hasta una forma útil. La ficha en PDF reúne todas las derivadas de bachillerato. Esta página te explica cómo usarlas: reconocer la forma de una función, plantear el cálculo sin perderte y servirte de la derivada para estudiar la monotonía. Tres derivadas completas te muestran el método aplicado.
En esta página, f′ se lee «f prima» y e^(u) significa «exponencial de u».
Lo que se espera de ti en un examen
Una derivada correcta no da todos los puntos si no se puede seguir tu cálculo. Esto es lo que hace legible un examen:
- Decir en qué intervalo derivas. Una función que contiene ln u, √u o un cociente no es derivable en todas partes: indica el intervalo (donde u > 0, o donde el denominador no se anula).
- Nombrar las piezas. Escribe u(x) = …, luego u′(x) = …, y lo mismo con v. El corrector ve enseguida qué fórmula usas, y tú evitas mezclar los términos.
- Escribir la fórmula antes de sustituir. «f′ = u′v + uv′» en una línea, y después el cálculo. Un paso más, muchos menos errores.
- Llegar hasta una forma aprovechable. Si la siguiente pregunta pide la monotonía, una derivada dejada sin ordenar no sirve de nada: factorízala para poder leer su signo.
El método, paso a paso
1. Reconocer la forma de la función
Antes de cualquier cálculo, fíjate en la última operación que harías para calcular f(x) con un valor de x. Ella decide la fórmula.
- f(x) = (3x − 1) ln x: calculas 3x − 1, luego ln x, y después multiplicas. Es un producto u × v.
- g(x) = eˣ / (x + 2): terminas dividiendo. Es un cociente u / v.
- h(x) = √(4 − x²): calculas 4 − x² y después tomas la raíz de ese resultado. Es una función compuesta, de la forma √u.
Si dudas, pregúntate qué está «dentro» de qué. Lo que está bajo una raíz, dentro de un ln, en el exponente de una exponencial o entre paréntesis elevado a una potencia, eso es u.
2. Nombrar u y v, y derivarlas por separado
Escribe cada pieza en su línea, con su derivada. Para f(x) = (3x − 1) ln x en (0, +∞):
- u(x) = 3x − 1, luego u′(x) = 3;
- v(x) = ln x, luego v′(x) = 1/x.
Con estos pequeños cálculos hechos aparte, a la fórmula solo le queda rellenarse. Es también ahí donde detectas una compuesta escondida en un producto: en x e^(−x), v(x) = e^(−x) se deriva como −e^(−x).
3. Aplicar la fórmula y simplificar
Se sustituye en la fórmula, sin saltarse nada: f′(x) = 3 ln x + (3x − 1) × 1/x = 3 ln x + 3 − 1/x.
Simplificar no significa desarrollarlo todo. Conserva los factores comunes: con una exponencial, sácala como factor común; con un cociente, deja el denominador al cuadrado tal cual, siempre es positivo.
4. Leer el signo de la derivada
La derivada sirve casi siempre para estudiar la monotonía: f′ positiva, f creciente; f′ negativa, f decreciente. Para leer su signo, necesitas una forma factorizada, en la que cada factor tenga un signo fácil de encontrar:
- una exponencial es siempre estrictamente positiva;
- un cuadrado, como (x − 1)², es positivo;
- un factor de primer grado, como 2x − 4, cambia de signo en un solo valor.
El signo de una suma, en cambio, no se lee. Por eso se factoriza.
Tres derivadas resueltas paso a paso
Un producto: f(x) = (x² − 2x) eˣ en ℝ
Forma. Calculamos x² − 2x y eˣ, y después multiplicamos: es un producto u × v.
Piezas. u(x) = x² − 2x, luego u′(x) = 2x − 2. v(x) = eˣ, luego v′(x) = eˣ.
Cálculo. f′(x) = u′v + uv′ = (2x − 2) eˣ + (x² − 2x) eˣ. Sacamos eˣ como factor común: f′(x) = (2x − 2 + x² − 2x) eˣ = (x² − 2) eˣ.
Signo. eˣ > 0, luego f′(x) tiene el signo de x² − 2, que se anula en −√2 y en √2. f es creciente en (−∞, −√2], decreciente en [−√2, √2] y creciente en [√2, +∞).
Lo que hay que recordar. Con una exponencial dentro de un producto, se saca como factor común antes que nada: solo queda un polinomio que estudiar.
Un cociente: g(x) = (x² + 3) / (x − 1) en (1, +∞)
Forma. Terminamos dividiendo: es un cociente u / v, y v no se anula en (1, +∞).
Piezas. u(x) = x² + 3, luego u′(x) = 2x. v(x) = x − 1, luego v′(x) = 1.
Cálculo. g′(x) = (u′v − uv′) / v² = [2x(x − 1) − (x² + 3)] / (x − 1)² = (x² − 2x − 3) / (x − 1)².
El numerador se factoriza: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Luego g′(x) = (x − 3)(x + 1) / (x − 1)².
Signo. En (1, +∞), (x − 1)² > 0 y x + 1 > 0: g′(x) tiene el signo de x − 3. g es decreciente en (1, 3] y creciente en [3, +∞). Su mínimo vale g(3) = 12 / 2 = 6.
Lo que hay que recordar. Nunca se desarrolla el denominador: (x − 1)² es positivo, se deja tal cual y solo se trabaja con el numerador.
Una función compuesta: h(x) = ln(x² − 4x + 5) en ℝ
Forma. Calculamos x² − 4x + 5 y después tomamos su logaritmo: es ln u. Hace falta u > 0: aquí, x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, siempre mayor o igual que 1. h está, por tanto, definida y es derivable en ℝ.
Piezas. u(x) = x² − 4x + 5, luego u′(x) = 2x − 4.
Cálculo. h′(x) = u′ / u = (2x − 4) / (x² − 4x + 5).
Signo. El denominador es estrictamente positivo, luego h′(x) tiene el signo de 2x − 4: negativo antes de 2, positivo después. h es decreciente en (−∞, 2] y creciente en [2, +∞). Su mínimo vale h(2) = ln 1 = 0.
Lo que hay que recordar. La derivada de ln u no es 1/u sino u′/u: es u′ quien lleva toda la información sobre la monotonía.
Los errores más frecuentes
- Derivar un producto factor por factor. (uv)′ no es u′v′. Con x eˣ, saldría eˣ en lugar de (1 + x) eˣ.
- Invertir el numerador del cociente. Es u′v − uv′, en ese orden. Al revés, obtienes lo opuesto de la derivada, y toda la monotonía sale mal.
- Olvidar el u′ de una compuesta. (e^(3x))′ = 3 e^(3x), no e^(3x). Lo mismo para ln u, √u y uⁿ: toda fórmula «con u dentro» termina con un factor u′.
- Escribir (ln u)′ = 1/u. La fórmula correcta es u′/u. Solo encuentras 1/x para ln x, porque u′ vale 1.
- Desarrollar para nada. Un denominador desarrollado o una exponencial repartida en cada término impiden leer el signo. Factoriza en lugar de desarrollar.
- Olvidar el dominio de derivabilidad. √x no es derivable en 0, ln u solo existe si u > 0, un cociente no tiene sentido donde v se anula. Decirlo evita conclusiones falsas.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre f′(a) y f′(x)?
f′(a) es un número: la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa a. f′(x) es una función, que da esa pendiente para cada valor de x. Se calcula f′(x) una vez y luego se sustituye x por a para obtener f′(a).
¿Cómo se encuentra la ecuación de una recta tangente?
La recta tangente en el punto de abscisa a tiene por ecuación y = f′(a)(x − a) + f(a). Calcula f(a) y f′(a), sustituye y desarrolla para obtener la forma y = mx + n.
¿Cómo recordar la fórmula del cociente?
Se parece a la del producto, con un signo menos en el numerador y v² debajo: (u′v − uv′) / v². Para no invertir el orden, recuerda que el numerador empieza como el producto, por u′v.
¿Qué hacer cuando una función es a la vez un producto y una compuesta?
Se aplican las fórmulas una dentro de otra. Para f(x) = x e^(−x): es un producto, con u(x) = x y v(x) = e^(−x). La derivada de v es la de una compuesta, v′(x) = −e^(−x). Luego f′(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x).
¿Por qué hay que factorizar la derivada?
Porque buscamos su signo, y el signo de un producto se lee factor por factor. Una suma como x² eˣ − 2 eˣ no dice nada; escrita (x² − 2) eˣ, tiene el signo de x² − 2, ya que eˣ es siempre positiva.
