Conhecer as fórmulas não basta: na prova, a dificuldade é saber qual aplicar e depois levar a conta até uma forma útil. A ficha em PDF reúne todas as derivadas do ensino médio. Esta página explica como usá-las: reconhecer a forma de uma função, montar a conta sem se perder e usar a derivada para estudar as variações. Três derivadas completas mostram o método aplicado.
Nesta página, f′ lê-se “f linha” e e^(u) quer dizer “exponencial de u”.
O que se espera de você em uma prova
Uma derivada certa não garante todos os pontos se ninguém consegue acompanhar sua conta. O que deixa uma resolução legível:
- Dizer em que intervalo você deriva. Uma função que contém ln u, √u ou um quociente não é derivável em todo lugar: indique o intervalo (onde u > 0, ou onde o denominador não se anula).
- Dar nome às partes. Escreva u(x) = …, depois u′(x) = …, e o mesmo para v. O corretor vê de imediato qual fórmula você usa, e você evita misturar os termos.
- Escrever a fórmula antes de substituir. “f′ = u′v + uv′” em uma linha, depois a conta. Uma etapa a mais, bem menos erros.
- Chegar a uma forma aproveitável. Se a pergunta seguinte pede as variações, uma derivada deixada desarrumada não serve para nada: fatore-a para poder ler o sinal dela.
O método, passo a passo
1. Reconhecer a forma da função
Antes de qualquer conta, olhe a última operação que você faria para calcular f(x) com um valor de x. É ela que decide a fórmula.
- f(x) = (3x − 1) ln x: calcula-se 3x − 1, depois ln x, e então multiplica-se. É um produto u × v.
- g(x) = eˣ / (x + 2): termina-se dividindo. É um quociente u / v.
- h(x) = √(4 − x²): calcula-se 4 − x² e depois toma-se a raiz desse resultado. É uma função composta, da forma √u.
Se você ficar em dúvida, pergunte-se o que está “dentro” de quê. O que está sob uma raiz, dentro de um ln, no expoente de uma exponencial ou entre parênteses elevado a uma potência é o u.
2. Dar nome a u e v e derivá-los à parte
Escreva cada parte em sua própria linha, com a derivada. Para f(x) = (3x − 1) ln x em ]0, +∞[:
- u(x) = 3x − 1, logo u′(x) = 3;
- v(x) = ln x, logo v′(x) = 1/x.
Feitas essas contas pequenas à parte, só falta preencher a fórmula. É também aí que você percebe uma composta escondida em um produto: em x e^(−x), v(x) = e^(−x) deriva-se em −e^(−x).
3. Aplicar a fórmula e depois simplificar
Substitui-se na fórmula, sem pular nada: f′(x) = 3 ln x + (3x − 1) × 1/x = 3 ln x + 3 − 1/x.
Simplificar não quer dizer desenvolver tudo. Mantenha os fatores comuns: com uma exponencial, coloque-a em evidência; com um quociente, mantenha o denominador ao quadrado como está, porque ele nunca é negativo.
4. Ler o sinal da derivada
A derivada serve quase sempre para estudar as variações: f′ positiva, f crescente; f′ negativa, f decrescente. Para ler o sinal dela, é preciso uma forma fatorada, em que cada fator tem um sinal fácil de encontrar:
- uma exponencial é sempre estritamente positiva;
- um quadrado, como (x − 1)², é sempre maior ou igual a zero;
- um fator do primeiro grau, como 2x − 4, muda de sinal em um único valor.
O sinal de uma soma, por sua vez, não se lê. É por isso que se fatora.
Três derivadas resolvidas passo a passo
Um produto: f(x) = (x² − 2x) eˣ em ℝ
Forma. Calcula-se x² − 2x e eˣ e depois multiplica-se: é um produto u × v.
Partes. u(x) = x² − 2x, logo u′(x) = 2x − 2. v(x) = eˣ, logo v′(x) = eˣ.
Conta. f′(x) = u′v + uv′ = (2x − 2) eˣ + (x² − 2x) eˣ. Coloca-se eˣ em evidência: f′(x) = (2x − 2 + x² − 2x) eˣ = (x² − 2) eˣ.
Sinal. eˣ > 0, então f′(x) tem o sinal de x² − 2, que se anula em −√2 e em √2. f é crescente em ]−∞, −√2], decrescente em [−√2, √2] e crescente em [√2, +∞[.
O que guardar. Com uma exponencial em um produto, coloque-a em evidência antes de qualquer coisa: sobra só um polinômio para estudar.
Um quociente: g(x) = (x² + 3) / (x − 1) em ]1, +∞[
Forma. Termina-se dividindo: é um quociente u / v, e v não se anula em ]1, +∞[.
Partes. u(x) = x² + 3, logo u′(x) = 2x. v(x) = x − 1, logo v′(x) = 1.
Conta. g′(x) = (u′v − uv′) / v² = [2x(x − 1) − (x² + 3)] / (x − 1)² = (x² − 2x − 3) / (x − 1)².
O numerador se fatora: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Logo g′(x) = (x − 3)(x + 1) / (x − 1)².
Sinal. Em ]1, +∞[, (x − 1)² > 0 e x + 1 > 0: g′(x) tem o sinal de x − 3. g é decrescente em ]1, 3] e crescente em [3, +∞[. Seu mínimo vale g(3) = 12 / 2 = 6.
O que guardar. Nunca desenvolva o denominador: (x − 1)² é positivo, mantenha-o como está e trabalhe só com o numerador.
Uma função composta: h(x) = ln(x² − 4x + 5) em ℝ
Forma. Calcula-se x² − 4x + 5 e depois toma-se o logaritmo desse resultado: é ln u. É preciso ter u > 0: aqui, x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, sempre maior ou igual a 1. Logo h está definida e é derivável em ℝ.
Partes. u(x) = x² − 4x + 5, logo u′(x) = 2x − 4.
Conta. h′(x) = u′ / u = (2x − 4) / (x² − 4x + 5).
Sinal. O denominador é estritamente positivo, então h′(x) tem o sinal de 2x − 4: negativo antes de 2, positivo depois. h é decrescente em ]−∞, 2] e crescente em [2, +∞[. Seu mínimo vale h(2) = ln 1 = 0.
O que guardar. A derivada de ln u não é 1/u, e sim u′/u: é o u′ que carrega toda a informação sobre as variações.
Os erros mais frequentes
- Derivar um produto fator por fator. (uv)′ não é u′v′. Com x eˣ, isso daria eˣ em vez de (1 + x) eˣ.
- Inverter o numerador do quociente. É u′v − uv′, nessa ordem. Na outra ordem, você obtém o oposto da derivada, e todas as variações ficam erradas.
- Esquecer o u′ de uma composta. (e^(3x))′ = 3 e^(3x), e não e^(3x). O mesmo vale para ln u, √u e uⁿ: toda fórmula “com u dentro” termina com um fator u′.
- Escrever (ln u)′ = 1/u. A fórmula certa é u′/u. Você só encontra 1/x para ln x, porque aí u′ vale 1.
- Desenvolver à toa. Um denominador desenvolvido ou uma exponencial distribuída em cada termo impedem a leitura do sinal. Fatore em vez de desenvolver.
- Esquecer o domínio de derivação. √x não é derivável em 0, ln u só existe se u > 0, um quociente não faz sentido onde v se anula. Dizer isso evita conclusões erradas.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre f′(a) e f′(x)?
f′(a) é um número: a inclinação da reta tangente à curva no ponto de abscissa a. f′(x) é uma função, que dá essa inclinação para cada valor de x. Calcula-se f′(x) uma vez e depois substitui-se x por a para obter f′(a).
Como encontrar a equação de uma reta tangente?
A tangente no ponto de abscissa a tem equação y = f′(a)(x − a) + f(a). Calcule f(a) e f′(a), substitua e depois desenvolva para obter a forma y = mx + p.
Como lembrar a fórmula do quociente?
Ela lembra a do produto, com um sinal de menos no numerador e v² embaixo: (u′v − uv′) / v². Para não inverter a ordem, lembre que o numerador começa como o do produto, por u′v.
O que fazer quando uma função é ao mesmo tempo um produto e uma composta?
Aplicam-se as fórmulas uma dentro da outra. Para f(x) = x e^(−x): é um produto, com u(x) = x e v(x) = e^(−x). A derivada de v é a de uma composta, v′(x) = −e^(−x). Logo f′(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x).
Por que é preciso fatorar a derivada?
Porque se procura o sinal dela, e o sinal de um produto se lê fator por fator. Uma soma como x² eˣ − 2 eˣ não diz nada; escrita como (x² − 2) eˣ, ela tem o sinal de x² − 2, já que eˣ é sempre positiva.
