Conoscere le formule non basta: in un compito, la difficoltà sta nel sapere quale applicare e nel portare il calcolo fino a una forma utile. La scheda PDF raccoglie tutte le derivate del liceo. Questa pagina ti spiega come usarle: riconoscere la forma di una funzione, impostare il calcolo senza perderti e servirti della derivata per studiare la monotonia. Tre derivate complete ti mostrano il metodo applicato.
In questa pagina, f′ si legge « f primo » e e^(u) significa « esponenziale di u ».
Che cosa ci si aspetta da te nel compito
Una derivata giusta non porta tutti i punti se non si riesce a seguire il tuo calcolo. Ecco che cosa rende leggibile un compito:
- Dire su quale intervallo derivi. Una funzione che contiene ln u, √u o un quoziente non è derivabile ovunque: precisa l'intervallo (dove u > 0, o dove il denominatore non si annulla).
- Dare un nome ai pezzi. Scrivi u(x) = …, poi u′(x) = …, e lo stesso per v. Chi corregge vede subito quale formula usi, e tu eviti di mescolare i termini.
- Scrivere la formula prima di sostituire. « f′ = u′v + uv′ » in una riga, poi il calcolo. Un passaggio in più, molti meno errori.
- Arrivare a una forma utilizzabile. Se la domanda successiva chiede la monotonia, una derivata lasciata alla rinfusa non serve a niente: fattorizzala per poterne leggere il segno.
Il metodo, passo per passo
1. Riconoscere la forma della funzione
Prima di qualsiasi calcolo, guarda l'ultima operazione che faresti per calcolare f(x) con un valore di x. È lei a decidere la formula.
- f(x) = (3x − 1) ln x: si calcola 3x − 1, poi ln x, poi si moltiplica. È un prodotto u × v.
- g(x) = eˣ / (x + 2): si finisce dividendo. È un quoziente u / v.
- h(x) = √(4 − x²): si calcola 4 − x², poi si prende la radice di questo risultato. È una funzione composta, della forma √u.
Se hai un dubbio, chiediti che cosa c'è « dentro » che cosa. Ciò che sta sotto una radice, dentro un ln, all'esponente di un'esponenziale o tra parentesi con una potenza è u.
2. Dare un nome a u e v, e derivarli a parte
Scrivi ogni pezzo sulla sua riga, con la sua derivata. Per f(x) = (3x − 1) ln x su ]0; +∞[:
- u(x) = 3x − 1, quindi u′(x) = 3;
- v(x) = ln x, quindi v′(x) = 1/x.
Fatti questi piccoli calcoli a parte, alla formula non resta che essere compilata. È anche qui che scopri una composta nascosta in un prodotto: in x e^(−x), v(x) = e^(−x) si deriva in −e^(−x).
3. Applicare la formula, poi semplificare
Si sostituisce nella formula, senza saltare niente: f′(x) = 3 ln x + (3x − 1) × 1/x = 3 ln x + 3 − 1/x.
Semplificare non vuol dire sviluppare tutto. Tieni i fattori comuni: con un'esponenziale, raccoglila a fattor comune; con un quoziente, lascia il denominatore al quadrato così com'è, perché è sempre positivo.
4. Leggere il segno della derivata
La derivata serve quasi sempre a studiare la monotonia: f′ positiva, f crescente; f′ negativa, f decrescente. Per leggerne il segno serve una forma fattorizzata, in cui ogni fattore ha un segno facile da trovare:
- un'esponenziale è sempre strettamente positiva;
- un quadrato, come (x − 1)², è positivo o nullo;
- un fattore di primo grado, come 2x − 4, cambia segno in un solo valore.
Il segno di una somma, invece, non si legge. Per questo si fattorizza.
Tre derivate svolte passo per passo
Un prodotto: f(x) = (x² − 2x) eˣ su ℝ
Forma. Si calcolano x² − 2x ed eˣ, poi si moltiplica: è un prodotto u × v.
Pezzi. u(x) = x² − 2x, quindi u′(x) = 2x − 2. v(x) = eˣ, quindi v′(x) = eˣ.
Calcolo. f′(x) = u′v + uv′ = (2x − 2) eˣ + (x² − 2x) eˣ. Si raccoglie eˣ a fattor comune: f′(x) = (2x − 2 + x² − 2x) eˣ = (x² − 2) eˣ.
Segno. eˣ > 0, quindi f′(x) ha il segno di x² − 2, che si annulla in −√2 e in √2. f è crescente su ]−∞; −√2], decrescente su [−√2; √2], crescente su [√2; +∞[.
Da ricordare. Con un'esponenziale in un prodotto, la si raccoglie a fattor comune prima di ogni altra cosa: resta da studiare solo un polinomio.
Un quoziente: g(x) = (x² + 3) / (x − 1) su ]1; +∞[
Forma. Si finisce dividendo: è un quoziente u / v, e v non si annulla su ]1; +∞[.
Pezzi. u(x) = x² + 3, quindi u′(x) = 2x. v(x) = x − 1, quindi v′(x) = 1.
Calcolo. g′(x) = (u′v − uv′) / v² = [2x(x − 1) − (x² + 3)] / (x − 1)² = (x² − 2x − 3) / (x − 1)².
Il numeratore si fattorizza: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Quindi g′(x) = (x − 3)(x + 1) / (x − 1)².
Segno. Su ]1; +∞[, (x − 1)² > 0 e x + 1 > 0: g′(x) ha il segno di x − 3. g è decrescente su ]1; 3] e crescente su [3; +∞[. Il suo minimo vale g(3) = 12 / 2 = 6.
Da ricordare. Il denominatore non si sviluppa mai: (x − 1)² è positivo, lo si tiene così com'è e si lavora solo sul numeratore.
Una funzione composta: h(x) = ln(x² − 4x + 5) su ℝ
Forma. Si calcola x² − 4x + 5, poi se ne prende il logaritmo: è ln u. Serve u > 0: qui x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1, sempre maggiore o uguale a 1. h è quindi definita e derivabile su ℝ.
Pezzi. u(x) = x² − 4x + 5, quindi u′(x) = 2x − 4.
Calcolo. h′(x) = u′ / u = (2x − 4) / (x² − 4x + 5).
Segno. Il denominatore è strettamente positivo, quindi h′(x) ha il segno di 2x − 4: negativo prima di 2, positivo dopo. h è decrescente su ]−∞; 2] e crescente su [2; +∞[. Il suo minimo vale h(2) = ln 1 = 0.
Da ricordare. La derivata di ln u non è 1/u ma u′/u: è u′ a portare tutta l'informazione sulla monotonia.
Gli errori più frequenti
- Derivare un prodotto fattore per fattore. (uv)′ non è u′v′. Con x eˣ darebbe eˣ invece di (1 + x) eˣ.
- Invertire il numeratore del quoziente. È u′v − uv′, in quest'ordine. Nell'altro verso ottieni l'opposto della derivata, e tutta la monotonia risulta sbagliata.
- Dimenticare l'u′ di una composta. (e^(3x))′ = 3 e^(3x), non e^(3x). Lo stesso vale per ln u, √u e uⁿ: ogni formula « con u dentro » finisce con un fattore u′.
- Scrivere (ln u)′ = 1/u. La formula giusta è u′/u. Ritrovi 1/x solo per ln x, perché u′ vale 1.
- Sviluppare senza motivo. Un denominatore sviluppato o un'esponenziale distribuita in ogni termine impediscono di leggere il segno. Fattorizza invece di sviluppare.
- Dimenticare l'insieme di derivabilità. √x non è derivabile in 0, ln u esiste solo se u > 0, un quoziente non ha senso dove v si annulla. Dirlo evita conclusioni sbagliate.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra f′(a) e f′(x)?
f′(a) è un numero: il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto di ascissa a. f′(x) è una funzione, che dà questo coefficiente per ogni valore di x. Si calcola f′(x) una volta, poi si sostituisce x con a per ottenere f′(a).
Come trovare l'equazione di una tangente?
La tangente nel punto di ascissa a ha equazione y = f′(a)(x − a) + f(a). Calcola f(a) e f′(a), sostituisci, poi sviluppa per ottenere la forma y = mx + p.
Come ricordare la formula del quoziente?
Somiglia a quella del prodotto, con un segno meno al numeratore e v² sotto: (u′v − uv′) / v². Per non invertire l'ordine, ricorda che il numeratore comincia come il prodotto, con u′v.
Che cosa fare quando una funzione è sia un prodotto sia una composta?
Si applicano le formule una dentro l'altra. Per f(x) = x e^(−x): è un prodotto, con u(x) = x e v(x) = e^(−x). La derivata di v è quella di una composta, v′(x) = −e^(−x). Quindi f′(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x).
Perché bisogna fattorizzare la derivata?
Perché se ne cerca il segno, e il segno di un prodotto si legge fattore per fattore. Una somma come x² eˣ − 2 eˣ non dice niente; scritta (x² − 2) eˣ, ha il segno di x² − 2, perché eˣ è sempre positiva.
